segunda-feira, 1 de abril de 2019

Demonstração do volume da Pirâmide

Na figura abaixo, feita no software GeoGebra, vemos um prisma de base triangular, cujo volume é dado pela fórmula:



Se movimentarmos o cursor da figura, veremos que o prisma se dividirá em três pirâmides de igual volume, consequentemente, cada uma delas com volume igual a 1/3 do volume do prisma que lhes deu origem, logo o volume da pirâmide vale:


 

Francisco Ismael Reis

01/04/2019

sábado, 30 de março de 2019

O Triângulo de Reuleaux

O Triângulo de Reuleaux, também conhecido como Triângulo esférico, recebeu esse nome em homenagem a Franz Reuleaux (1829-1905), engenheiro, cientista e professor de origem alemã, o primeiro a registrar as propriedades desse triângulo.

Apesar do nome, o Triângulo de Reuleuax, não é propriamente um triângulo. Trata-se de uma forma geométrica plana, não circular, construída a partir de um triângulo equilátero.

Para a obtenção do Triângulo de Reuleaux, constróiem-se sobre os três lados de um triângulo equilátero, três arcos de circunferência com centro nos vértices do triângulo e raio de medida igual à medida do lado do triângulo.

Ao se rotacionar o Triângulo de Reuleaux, seus vértices percorrem uma figura que se assemelha a um quadrado de “cantos arredondados”.

Na figura a seguir, construída no software Geogebra, vemos o Triângulo de Reuleaux. Movimente o cursor (ponto verde) para observar o movimento do Triângulo.




Uma aplicação bastante curiosa do Triângulo de Reuleaux foi desenvolvida pelo engenheiro inglês Harry James Watt, que, em 1914, aproveitando as propriedades da curva, concebeu uma broca de furadeira com eixo flexível para fazer furos na forma aproximada de um quadrado. 


Francisco Ismael Reis


30/03/2019

sexta-feira, 29 de março de 2019

A Cardioide

A Cardióde é uma curva matemática que se assemelha a um coração (o seu nome deriva da palavra grega kardia + eidos que significa coração + forma). Foi apresentada pela primeira vez por Johann Castillon (1708-1791), matemático e astrônomo italiano, em 1741.
Sua equação cartesiana é dada por:

A figura abaixo, construída no software GeoGebra, mostra o gráfico da equação acima. Movimente o cursor para fazer a Cardioide mudar de tamanho e de posição. 



Francisco Ismael Reis

 



29/03/2019

quarta-feira, 27 de março de 2019

A Catenária

Resultado de imagem para a catenáriaUma corda, ou uma corrente, suspensa por suas extremidades, presa a dois pontos fixos e sob influência exclusiva da gravidade, gera uma curva parecida com uma parábola, como conjecturou Galileu Galilei (1564-1642).

Christiaan Huygens (1629-1695), físico, matemático e astrônomo holandês, mostrou em 1646, aos 17 anos de idade, que a conjectura feita por Galileu era falsa.
A essa curva, que se parece com uma parábola,mas que não é uma parábola, foi dado o nome de catenária, termo que deriva da palavra latina catena, que significa “cadeia” ou “corrente”.
A equação matemática que descreve a catenária é dada pela seguinte função hiperbólica:


que tem como equivalente exponencial a função:

que define uma família de curvas, entre as quais vemos algumas representadas no gráfico abaixo.
Catenarias para diferentes valores do parametro
A catenária no nosso cotidiano

A catenária está muito presente em nosso cotidiano. Ela aparece com certa frequência nas construções civis dando forma a arcos e a certas casas construidas de pedra, na construção de pontes pênsis e até mesmo no formato adquirido pela barriga de uma mulher grávida.

Resultado de imagem para barriga de mulher grávida

Veja os exemplos a seguir:

Resultado de imagem para Gateway Arch


O Gateway Arch, também conhecido como Portal para o Oeste ou Portal em Arco, está situado na cidade de Saint Louis, Missouri, Estados Unidos.



Resultado de imagem para clochan
O Clochán Irlandês, uma construção típica irlandesa feita de pedras.



Resultado de imagem para a catenária na natureza
Muitos tuneis apresentam o formato de catenária.




Assim como diversas pontes pênseis.



Resultado de imagem para redes de alta tensão e catenária
E redes de transmissão.



Francisco Ismael Reis

27/03/2019

terça-feira, 26 de março de 2019

Pitágoras

Resultado de imagem para pitágoras“Pitágoras nasceu em 582 a.C., em Samos. Era filho de Mnesarcos que contratou grandes homens da época, como Ferecides e Hermodamas para ensiná-lo. Pitágoras aprendeu rapidamente e, em pouco tempo, deixou para trás seus mestres matemáticos e filósofos; com dezoito anos participou dos jogos olímpicos como pugilista e ganhou todas as competições que disputou. Com mais ou menos dezenove anos, iniciou uma viagem em direção ao oriente; dirigiu-se primeiro à Babilônia onde esteve em contato com os sábios da terra, homens que pertenciam a uma raça já antiga em cultura; depois dirigiu-se à Índia onde encontrou Ciência e também a Filosofia budista, que o influenciou pelo resto de sua vida. No Egito, esteve em contato com sacerdotes do Nilo. Quando regressou à Grécia já estava com 53 anos e tornou-se líder de um movimento religioso por toda a Grécia, movimento este que tinha como base o misticismo, ritos de abstinência, pureza e meditações. Seus adeptos usavam roupas que os distinguiam das pessoas comuns. A escola pitagórica durou cerca de 150 anos, e a vida mística dos pitagóricos não impediu de fundarem a Aritmética, ou a Ciência dos Números.

Como astrônomo, foi o primeiro a afirmar que a Terra era redonda e estava suspensa no espaço, assim como os planetas giravam em torno de uma chama central à qual dava o nome de Héstia, que não era o Sol; este por sua vez recebia a luz de Héstia e a refletia. O movimento dos planetas produzia sons que nós não ouvíamos, porque estamos acostumados com eles. Com essa forma de pensar o seu sistema foi o melhor que se conheceu até Copérnico.

Obcecado por números, nos deixou a célebre frase: todas as coisas são números. Achava que o Universo era uma escala musical e ao número 1 (um) atribuía a própria essência da vida, pois tudo vem de um deus que é onipotente, onipresente e onisciente e é simplesmente um. Com sua teoria dos números, desenvolveu o estudo das notas musicais que o levou a descobrir que cordas em vibração emitem sons que dependem de seus comprimentos. cordas-PitágorasPitágoras construiu um instrumento de cordas para ensaiar e demonstrar essa teoria, acredita-se ter sido esse o primeiro instrumento de Física que existiu, em outras palavras, talvez tenha sido o primeiro experimento na história, onde a Matemática foi relacionada com a Natureza, assim como a primeira tentativa de equacionar um fenômeno natural. Ao tomar conhecimento de que as notas são obtidas por divisões da corda por números inteiros, atribuíram ao fato o significado de uma força mística. A relação entre os números e a Natureza era tão perfeita que não só os sons naturais, mas todos os eventos deveriam ser números representados por harmonias; até as órbitas dos corpos celestes estariam relacionadas aos intervalos musicais, assim os movimentos celestes representavam a Música das esferas.

Monedas griegas  con el Pentagrama pitagórico halladas en Metaponto (450 a.C).Em sua sociedade secreta, os pitagóricos tinham o pentagrama, ou a estrela de cinco pontas, como emblema; não era permitida a entrada de mulheres e eles passavam os dias buscando relações matemáticas para explicar a harmonia do mundo. Também toda e qualquer descoberta feita deveria ser atribuída ao mestre e jamais revelada a uma pessoa estranha; diz-se que foi Pitágoras (ou sua sociedade) o responsável pela introdução do sistema de pesos e medidas na Grécia.

A cidade de Milos, palco principal dos pitagóricos, quando de uma revolução mais ou menos em 501 a.C., teve o governo derrubado, o palácio incendiado e vários pitagóricos foram assassinados; o próprio Pitágoras fugiu para Tarento, de onde se dirigiu para Metaponto e aí perdeu a vida numa revolta em 501 a.C. Estudos sobre Aritmética, Geometria, Música e Astronomia eram considerados fundamentais para os pitagóricos. Foi Pitágoras quem classificou a Matemática em Aritmética ou números absolutos, Música em números aplicados, Geometria em grandezas em repouso e Astronomia em grandezas em movimento,

Assim como Cristo e Sócrates, Pitágoras não escreveu qualquer trabalho que tenha chegado até nós, logo o que sabemos tem origem em três fontes:

  1. Os escritos de seus discípulos e seguidores como Nicomano, autor de Introdução à aritmética, onde retrata os ensinamentos dos pitagóricos.
  2. Nas obras de Platão que, por sua vez, foi muito influenciado pelos seguidores de Pitágoras.
  3. Nas obras de Aristóteles que cita e resume o pensamento pitagórico, embora muitas vezes discorde do mesmo.

A biografia de Pitágoras só foi escrita por volta de ano 300 d.C. por Diógenes Laércio, portanto muita coisa é desconhecida ou lendária.

O homem Pitágoras morreu, mas seus ensinamentos continuaram e seu trabalho foi descrito por Filolau de Tebas cerca de cem anos depois de sua morte”

Texto extraído do livro A Matemática na arte e na vida de Paulo Roberto Martins Contador – Editora Livraria da Física – 2ª edição – 2011 – Pág. 51 a 53.

Uma leitura mais que recomendada e obrigatória para todos os amantes da Matemática e para os que buscam desvendar o fascínio provocado pela Divina Proporção ou Proporção Áurea, aqui explicada com  muita clareza pelo autor.

segunda-feira, 25 de março de 2019

A espiral áurea

A Sequência de Fibonacci é uma sucessão de números inteiros proposta pelo matemático italiano Leonardo Pisa (1170-1250), mais conhecido como Fibonacci: Essa sequência tem seus dois primeiros termos definidos por 1 e 1 sendo cada um dos demais obtidos por meio da soma dos seus dois antecessores. Assim sendo temos:
1º termo 1
2º termo 1
3º termo 1+1 2
4º termo 2+1 3
5º termo 3+2 5
6º termo 5+3 8
7º termo 8+5 13
8º termo 13+8 21
9º termo 21+13 34
10º termo 34+21 55
11º termo 55+34 89
12º termo
89+55
144
Ou:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …
A partir dos valores dessa sequência, podemos construir vários retângulos, chamados de retângulos áureos.
Começamos com um quadrado de lado 1. Ao seu lado colocamos outro quadrado de lado 1, ao lado desses dois quadrados colocamos outro, agora de lado 2. Ao lado do retângulo obtido com a construção anterior, colocamos um quadrado de lado 3, obtendo um novo retângulo, ao lado do qual colocamos outro quadrado, agora de lado 5, e assim indefinidamente.
Veja essa construção na animação apresentada abaixo, feita para os primeiros sete elementos da sequência de Fibonacci.
espiral2
Fonte: http://clubes.obmep.org.br/blog/atividade-a-razao-aurea-uma-construcao-da-espiral-aurea/
Se dentro de cada quadrado, desenharmos arcos de circunferência de raio igual ao lado do respectivo quadrado e unirmos os arcos assim obtidos, formaremos uma curva, uma espiral chamada de espiral áurea, também conhecida como espiral logarítmica.

A espiral logarítmica aparece em diversas situações da natureza. Veja algumas delas.
Resultado de imagem para espiral logarítmica na natureza
Francisco Ismael Reis

25/03/2019
Related Posts Plugin for WordPress, 

Blogger...